Transformée de Fourier

La transformée de Fourier bi-dimensionnelle peut être utilisée à partir de Traitement des DonnéesTransforméesFFT 2D dans lequel est implémentée une transformée de Fourier rapide (FFT, Fast Fourier Transform). La transformée de Fourier décompose un signal selon ses composantes harmoniques, elle est ainsi très utile pour l'analyse des fréquences spatiales présentes dans les données SPM.

Le module FFT 2D propose plusieurs types de sortie :

ainsi que certaines combinaisons pour des raisons pratiques.

Des sections radiales de la PSD bi-dimensionnelle peuvent être aisément obtenus avec Traitement des DonnéesStatistiquesSection de PSD. Plusieurs autres fonctions générant des densités spectrales sont décrites dans la section Analyse Statistique. Il est aussi possible de filtrer des images dans le domaine fréquentiel en utilisant les filtres de FFT uni-dimensionnels ou bi-dimensionnels.

Pour comparer des textures indépendemment de l'échelle et de la rotation, il est utile de transformer les coordonnées fréquentielles cartésiennes de la PSDF en coordonnées définies par le logarithme de la fréquence spatiale et de sa direction. L'échelle et la rotation deviennent alors de simples translations selon les nouvelles coordonnées. La fonction Traitement des donnéesStatistiquesPSDF Log-Phi calcule directement la PSDF transformée. La coordonnée horizontale sans dimension est l'angle (de 0 à 2π), et la coordonnée verticale est le logarithme de la fréquence spatiale. iL est possible d'adoucir la PSDF à l'aide d'un filtre gaussien de largeur donnée avant de faire la tranformation.

Notez que la transformée de Fourier traite les données comme si elles s'étendaient à l'infini, ce qui implique des conditions aux limites périodiques. Comme les données réelles ne possèdent pas ces propriétés, il est nécessaire d'utiliser des fonctions de fenêtrage pour supprimer les données sur les bords de l'image. Si vous n'en choisissez aucune, la FFT traitera les données avec une fonction de fenêtrage rectangulaire qui donne une mauvaise image de la transformée, donnant ainsi un spectre de Fourier erroné.

Gwyddion propose plusieurs fonctions de fenêtrage. La plupart d'entre elles sont basées sur des fonctions sinus ou cosinus qui atténuent correctement les données sur les bords de l'image. Dans la table des formules de fenêtrage qui suit, la variable indépendante x appartient à l'intervalle [0, 1] qui correspond à l'abscisse normalisée ; pour simplifier la notation la variable ξ = 2πx est utilisée dans certaines formules. Les types de fenêtrage disponibles sont données dans la table qui suit :

NomFormule
Aucun1
Rectangle0.5 aux bords, 1 partout ailleurs
Hann
Hamming
Blackmann
Lanczos
Welch
Nutall
Plateau
Kaiserα , où I0 est la fonction de Bessel modifiée d'orde zéro et α est un paramètre

Fonctions de fenêtrage : Hann, Hamming, Blackmann, Lanczos, Welch, Nutall, plateau, Kaiser 2,5.

Enveloppes des réponses fréquentielles de fonctions de fenêtrage : Hann, Hamming, Blackmann, Lanczos, Welch, Nutall, plateau, Kaiser 2,5.

Les transformées de Fourier de données dont les dimensions ne sont pas factorisables en petits facteurs premiers peuvent être longues à calculer – et de nombreux programmes n'implémentent que la FFT de matrices de dimensions égales à une puissance de deux.

Toutefois, dans Gwyddion, la transformée de Fourier peut être appliquée à des champs de données de dimensions quelconques, sans avoir à ré-échantillonner les données (depuis la version 2.8). Les transformées de Fourier sont calculées avec la fameuse librairie FFTW ou, si celle-ci n'est pas disponible, avec les fonctions internes de Gwyddion qui, bien que plus lentes, peuvent aussi gérer les transformées de données de tailles arbitraires.

Cependant, si la taille des données n'est pas factorisable en petits facteurs premiers le calcul de la transformée sera considérablement plus lent. Il est ainsi préférable de transformer des champs de données de dimesions « sympathiques ».