Фрактальный анализ

В практике встречаются объекты. которые демонстрируют случайные свойства. Часто предполагается, что в определённом диапазоне масштабов эти объекты демонстрируют свойства аффинного самоподобия. Аффинное самоподобие является обобщением самоподобия, которое является основным свойством большинства детерминированных фракталов. Часть аффинно-самоподобного объекта подобна целому объекту после анизотропного масштабирования. Многие случайно шероховатые поверхности считаются принадлежащими к классу случайных объектов, которые проявляют свойства аффинного самоподобия и они рассматриваются как аффинно-самоподобные статистические фракталы. Разумеется, эти поверхности можно исследовать используя атомно-силовую микроскопию (АСМ). Результаты фрактального анализа аффинно-самоподобных случайных поверхностей с использованием АСМ нередко используются для классификации подобных поверхностей, полученных в результате различных технологических процессов [1,2,3,4].

В Gwyddion доступны различные виды фрактального анализа в меню Обработка данныхСтатистикаФрактальная размерность.

Метод подсчёта кубов [1,2]
выводится напрямую из определения фрактальной размерности, основанного на подсчёте блоков. В основе алгоритма лежат следующие шаги: кубическая решетка с постоянной решетки l накладывается на расширенную по z поверхность. Изначально l задаётся равной X/2 (где X это длина края поверхности), в результате получается решетка из 2×2×2 = 8 кубов. Тогда N(l) это число всех кубов, содержащих хотя бы один пиксель изображения. Постоянная решетки l на каждом шаге уменьшается в два раза и процесс повторяется до тех пор, пока l не станет равной расстоянию между двумя соседними пикселями. Наклон графика log(N(l)) от log(1/l) напрямую даёт фрактальную размерность Df.
Метод триангуляции [1]
весьма похож на алгоритм подсчёта кубов и тоже напрямую основан на определении фрактальной размерности, основанном на подсчёте блоков. Метод работает следующим образом: сетка с размером ячейки в одну единицу измерения l помещается на поверхность. Это определяет положения вершин набора треугольников. Когда, например, l = X/4, поверхность покрыта 32 треугольниками различной площади наклонёнными под разными углами по отношению к плоскости xy. Площади всех треугольников рассчитываются и суммируются чтобы получить приближенную площадь поверхности S(l), соответствующую l. Размер сетки затем уменьшается последовательно в два раза на каждом шаге, как и раньше, процесс продолжается до тех пор, пока не станет равным расстоянию между двумя соседними точками. Наклон графика log(S(l)) от log(1/l) при этом соответствует Df − 2.
Вариационный метод [3,4]
основан на зависимости от масштаба дробного броуновского движения. На практике, в вариационном методе делят полную поверхность на равносторонние квадратные блоки, и вариация (степень среднеквадратичного значения высоты) рассчитывается для заданного размера блоков. Фрактальная размерность рассчитывается из наклона β аппроксимированной методом наименьших квадратов линии на графике в двойном логарифмическом масштабе вариации как Df = 3 − β/2.
Метод спектра мощности [3,4,5]
основан на зависимости спектра мощности дробного броуновского движения. В методе спектра мощности к каждому профилю высоты вдоль линии, из которых состоит изображение, применяется преобразование Фурье, рассчитывается спектр мощности и все эти спектры усредняются. Фрактальная размерность определяется из наклона β аппроксимирующей линии, проведённой по методу наименьших квадратов на построенном в двойном логарифмическом масштабе графике спектра мощности, как Df = 7/2 − β/2.

Оси на графиках фрактальной размерности уже приведены к логарифмическому масштабу, следовательно линейные зависимости, упомянутые выше, там соответствуют прямым. Единицы измерения осей следует считать произвольными.

Следует отметить, что результаты различных методов различаются. Это явление вызвано систематическими ошибками различных методов фрактального анализа.

Диалоговое окно фрактальной размерности.

Более того, на результат фрактального анализа может сильно влиять свёртка с зондом. Мы рекомендуем поэтому проверять карту достоверности до начала фрактального анализа. В случае, если поверхность сильно искажена изображением зонда, результаты фрактального анализа могут быть весьма недостоверными.

Следует отметить, что алгоритмы, используемые во фрактальном анализе также используются в модуле фрактальной коррекции и опции инструмента удаления пятен «фрактальная коррекция».

Литература

[1] C. Douketis, Z. Wang, T. L. Haslett, M. Moskovits: Fractal character of cold-deposited silver films determined by low-temperature scanning tunneling microscopy. Physical Review B, Volume 51, Number 16, 15 April 1995, 51

[2] W. Zahn, A. Zösch: The dependence of fractal dimension on measuring conditions of scanning probe microscopy. Fresenius J Analen Chem (1999) 365: 168-172

[3] A. Van Put, A. Vertes, D. Wegrzynek, B. Treiger, R. Van Grieken: Quantitative characterization of individual particle surfaces by fractal analysis of scanning electron microscope images. Fresenius J Analen Chem (1994) 350: 440-447

[4] A. Mannelquist, N. Almquist, S. Fredriksson: Influence of tip geometry on fractal analysis of atomic force microscopy images. Appl. Phys. A 66,1998, 891-895

[5] W. Zahn, A. Zösch: Characterization of thin film surfaces by fractal geometry. Fresenius J Anal Chem (1997) 358: 119-121