Свёртка и деконволюция

Несколько функций Gwyddion делают некоторые разновидности операций свёртки и деконволюции. Тонкий вопрос, который приводит к непониманию, это разница между непрерывными и дискретными операциями. Когда изображения f и g являются распределениями физических величин, т.е. дискретными замерами некоторого поля в пространстве, их свёртка h

также будет физической величной. Её физическая размерность (единицы измерения) будет

. Для изображений dim(A) имеет размерность площади изображения, т.е. обычно квадратных метров.

Когда интеграл реализован с помощью дискретной суммы Римана

площадь представляет собой площадь одного пикселя ΔA. Это то, как все операции свёртки. деконволюции и передаточной функции работают в Gwyddion по умолчанию, т.е. когда опция Нормализовать как интеграл включена.

В цифровой обработке изображений физические единицы измерения иногда игнорируются и свёртка понимается как простая дискретная свёртка изображений

Такое поведение можно включить выключив опцию Нормализовать как интеграл для данной функции. Необходимо принимать во внимание, что результат операции в данном случае перестанет быть физической величиной, дискретизованной в пространстве (он зависит от размера пикселя) и единицы измерения станут другими. Единственной функцией, которая работает таким образом по умолчанию является Фильтр свёртки, где один из операндов это небольшая матрица безразмерных чисел.

Свёртка изображений

Обработка данныхМножественные данныеСвёртка

Свёртку двух изображений можно произвести используя модуль Свёртка (см. также Фильтр свёртки для свёртки с небольшим ядром, вводимым численно). Модуль имеет всего несколько параметров:

Ядро свёртки
Меньшее изображение, с которым будет производиться свёртка большего изображения, например, изображение передаточной функции зонда. Размерности одного пикселя в обоих изображениях должны соответствовать друг другу.
Тип внешней части
Какие значения должны присваиваться пикселям снаружи изображения (как в Расширить).
Размер результата
Размер результирующего изображения по отношению к тому, какие из пикселей входили в расчёт. Обрезать до внутренней части обрезает изображение таким образом, чтобы в него входили только пиксели достаточно далеко от границы, чтобы граница не влияла на результат. Сохранить размер создаёт изображение такого же размера .как исходное. И, наконец, Расширить до размера после свёртки означает. что результат будет расширен по каждой стороне на половину размера ядра.

Деконволюция изображения

Обработка данныхМножественные данныеДеконволюция

Простую регуляризованную деконволюцию двух изображений можно произвести используя модуль Деконволюции. Этот модуль имеет только несколько параметров:

Ядро свёртки
Меньшее, с чем будет производиться свёртка текущего изображения.
Параметр регуляризации
Параметр регуляризации

Тип вывода. Результат деконволюции даёт изображение деконволюции; Разница показывает разницу между изображением после свёртки обратно и входным изображением.

Оценка передаточной функции

Передаточная функция зонда (или функция рассеяния точки, импульсный отклик, point spread function, PSF, ПФ) может быть оценена из измеренных данных, даже зашумлённых, если доступен соответствующий идеально чёткий сигнал. В Gwyddion на данный момент реализовано несколько относительно простых методов.

Обработка данныхСтатистикаОценка передаточной функции. Общий вид интерфейса пользователя для данного модуля и типичная его работа с смоделированными зашумленными данными показан на следующих рисунках.

Чёткий сигнал выбирается как Идеальный отклик. Он должен иметь те же размеры, что и изображение. В настоящее время доступны три метода деконволюции:

Регуляризованный фильтр

Простой фильтр в пространстве частот с регуляризующим параметром. Он выдаёт изображение передаточной функции такого же размера, как и исходные изображения. Параметр Масштаб ПФ можно использовать чтобы показать увеличенную центральную часть изображения.

Наименьших квадратов

Передаточная функция находится путём решения задачи наименьших квадратов, соответствующей деконволюции. Размер передаточной функции может быть выбран произвольно. Обычно он гораздо меньше, чем исходные изображения.

Параметр Размер управляет размером изображения передаточной функции. Если Граница ненулевая, изображение передаточной функции увеличивается на это значение перед решением методом наименьших квадратов и затем граница обрезается. Небольшое значение порядка 2 или 3 нередко улучшает результат поскольку ошибки имеют тенденцию накапливаться в граничных пикселях. Оба размера могут быть оценены автоматически используя Оценить размер.

Фильтр Винера

Псевдо-фильтр Винера, предполагающий что спектральную плотность выходного изображения можно оценить по спектральной плотности входного. Это снова фильтр, работающий в пространстве частот и дающий передаточную функцию такого же размера, как исходные изображения. Опцию Масштаб ПФ можно использовать для того, чтобы показать увеличенную центральную часть изображения.

Два важных параметра влияют на результат. безразмерный параметр регуляризации σ, который используется во всех методах, но не сравним напрямую между ними. Он может быть выбран вручную. Поскольку подходящие значения могут отличаться на несколько порядков величины, он представлен как логарифм по основанию 10. Однако, модуль может найти подходящее значение автоматически если нажато Аппрокс. параметр регуляризации

Тип окна определяет оконную функцию, применяемую к обоим изображениям перед деконволюцией. Если исходные данные не являются периодическими, применение оконной функции необходимо для устранения похожих на кресты артефактов в передаточной функции. Применяемое по умолчанию окно Велча обычно является хорошим выбором.

Несколько характеристик передаточной функции сразу же показаны в нижней части диалогового окна как Результат:

ширина ПФ
Ширина, которая считается как квадратный корень от дисперсии если передаточная функция считается распределением. В расчёт включается только центральный пик (что важно особенно для регуляризованного фильтра и фильтра Винера). Обычно оптимальное восстановление имеет также малую ширину.
высота ПФ
Максимальное значение передаточной функции. Когда оно начинает заметно уменьшаться, параметр регуляризации возможно становится слишком большим.
норма ПФ
Среднеквадратичное значение передаточной функции.
Норма разницы
Среднеквадратичное значение разности между исходным изображением и идеально чётким изображением после свёртки его с восстановленной передаточной функцией.

Вкладка Параметры вывода позволяет выбрать какие изображения будет выдавать функция: передаточную функцию (Передаточная функция), её свёртку с идеально чётким изображением (Результат свёртки) и/или разницу между входным изображением и изображением после свёртки (Разница). Для методов, которые получают изображения передаточной функции полного размера Только увеличенная часть ограничивает размер выходных изображений увеличенной их частью, показанной в диалоговом окне.

Снимок экрана модуля оценки передаточной функции.

Тестовые результаты модуля оценки передаточной функции.

Альтернативный способ оценки точечной функции зонда основывается на аппроксимации явно заданной формы функции, например, гауссовой. Свободные параметры функции ищутся таким образом чтобы минимизировать сумму квадратов расстояний между измеренными данными и результатом свёртки идеальных данных с точечной функцией отклика. Поскольку минимизация может проводиться полностью в пространстве частот и не требует повторений операции свёртки, то метод является простым и быстрым, хотя и несколько грубым. Он доступен в меню Обработка данныхСтатистикаАппроксимация передаточной функции с реализованными на данный момент тремя модельными функциями: полностью симметричной гауссовой, анизотропной гауссовой, которая может иметь различную ширину в горизонтальном и вертикальном направлениях и передаточной функцией, являющейся экспоненциальной в пространстве частот.