Преобразование Фурье

Двумерное преобразование Фурье доступно в меню Обработка данныхИнтегральные преобразования2D БПФ, где реализовано быстрое преобразование Фурье (БПФ, FFT). Преобразование Фурье раскладывает сигнал на его гармонические составляющие, и, таким образом, его можно использовать при изучении спектральных частот, присутствующих в данных СЗМ.

Модуль 2D БПФ предлагает несколько вариантов вывода данных:

и некоторые их сочетания для удобства.

Радиальные сечения двумерной ФСПМ могут быть с лёгкостью получены с помощью меню Обработка данныхСтатистикаСечение ФСПМ. Некоторые другие функции, расчитывающие спектральные плотности, описаны в разделе Статистический анализ. Также возможно фильтровать изображения в частотных интервалах используя одномерную или двумерную фильтрацию БПФ.

Для не зависящего от масштаба и поворота сравнения текстур может оказаться полезным преобразовать ФСПМ из декартовых координат частот в координаты, состоящие из логарифма пространственной частоты и её направления. Масштабирование и поворот в новых координатах становятся простыми смещениями. Функция Обработка данныхСтатистикаLog-Phi ФСПМ непосредственно расчитывает преобразованную ФСПМ. Безразмерная горизонтальная координата это угол (от 0 до 2π), вертикальная это логарифм частоты. также возможно сгладить ФСПМ гауссовым фильтром заданной ширины перед преобразованием.

Следует отметить, что преобразование Фурье считает данные бесконечно протяженными, и, следовательно, накладывает некоторые периодические граничные условия. Поскольку реальные данные не обладают этими свойствами, необходимо использовать некоторую оконную функцию для подавления данных на границах изображения. Если вы этого не сделаете, БПФ будет считать данные обработанными прямоугольной функцией окна, которая имеет действительно скверный Фурье-образ, что приводит к искажению Фурье-спектра.

Gwyddion предлагает на выбор несколько функций окна. Большинство из них образовано набором синусов и косинусов, которые корректно приглушают данные на краях. В следующей таблице формул для функций окна независимая переменная x лежит в диапазоне [0, 1], что соответствует нормализации абсциссы; для простоты переменная ξ = 2πx используется в ряде формул. Доступные виды оконных функций включают в себя:

НазваниеФормула
Нет1
Прямоугольное0.5 в граничных точках, 1 во всех остальных
Ханн
Хэмминг
Блэкмен
Ланцош
Велч
Наттолл
Плоская вершина
Кайзер α, где I0 — модифицированная функция Бесселя нулевого порядка и α — параметр.

Оконные функции: Ханна, Хэмминга, Блэкмена, Ланцоша, Велча, Наттола, с плоской вершиной, Кайзера 2,5.

Огибающие частотного отклика оконных функций: Ханна, Хэмминга, Блэкмена, Ланцоша, Велча, Наттола, с плоской вершиной, Кайзера 2,5.

Преобразования Фурье данных с размерами, которые не раскладываются на малые простые числа могут быть очень медленными – и многие программы реализуют БПФ только для массивов, размер которых кратен степени двух.

В Gwyddion, тем не менее, преобразование Фурье может использоваться к полям данных и линиям произвольного размера, без использования передискретизации данных (по крайней мере начиная с версии 2.8). Преобразования Фурье рассчитываются либо с использованием знаменитой библиотеки FFTW, либо, если она недоступна, используя встроенные в Gwyddion функции, которые работают медленнее, но также могут работать с данными произвольной длины.

Тем не менее, если размер данных не раскладывается на малые простые числа, преобразование работает заметно медленнее. Следовательно, желательно преобразовывать поля данных с «правильными» размерами.