Интерполяция

Большинство геометрических преобразований, таких как поворот, масштабирование или компенсация дрейфа используют или зависят от интерполяции данных. Также некоторые другие операции, например, извлечение профилей, могут работать со значениями между отдельными пикселями и, следовательно, использовать интерполяцию. Поскольку данные СЗМ снимаются в относительно редко расположенных точках по сравнению с измеряемыми деталями (полные изображения обычно содержат всего лишь сотни пикселей в высоту и ширину), используемые методы интерполяции могут стать критичными для правильного количественного анализа свойств данных. В Gwyddion реализовано несколько методов интерполяции [1] и в большинстве модулей, где она требуется, можно выбрать используемый метод.

Здесь мы описываем принципы и свойства методов одномерной интерполяции. Все реализованные методы двумерной интерполяции поддерживают разделение переменных и, следовательно, сводятся к соответствующим методам одномерной интерполяции. В настоящий момент доступны следующие методы интерполяции:

Округление

Интерполяция округлением (также называемая интерполяцией до ближайшего соседнего) – простейший метод, значения текущего местоположения округляются до целых и, таким образом, определяется ближайшее значение в точке с целыми координатами. Её степень многочлена = 0, регулярность C-1 и порядок 1.

Линейная

Линейная интерполяция между двумя ближайшими значениями. Значение z в точке с относительными координатами x получается с помощью уравнения

Linear interpolation formula

где z0 и z1 - значения в предыдущей и следующей точке, соответственно. Степень многочлена 1, регулярность C0, порядок 2. Она идентична B-сплайну второго порядка.

Кубическая

Кубическая интерполяция (точнее интерполяция Кея (Key) с a = −1/2 который имеет наиболее высокий порядок интерполяции) также использует значения в точках перед предыдущей и после следующей z-1 и z2, соответственно. Другими словами оно имеет носитель длины 4. Значение затем получается по формуле

Four-point interpolation weighted sum

где

Interpolation weights for Key

- веса интерполяции. Степень интерполяции Кея равна 3, регулярность C1 и порядок 3.

по Шауму

Интерполяция по Шауму (точнее, интерполяция Шаума четвёртого порядка) также имеет носитель длины 4. Веса интерполяции -

Interpolation weights for Schaum

Степень полинома 3, регулярность C0 и порядок 4.

АБС

Аппроксимация ближайшим соседом снова рассчитывается из ближайших четырёх значений данных, но, в отличие от остальных, не является кусочно полиномиальной. Веса интерполяции:

Interpolation weights for NNA

для k = -1, 0, 1, 2, где r-1 = 1 + x, r0 = x, r1 = 1 − x, r2 = 2 − x. Её порядок = 1.

B-сплайн

Веса -

Interpolation weights for B-Spline

Однако, они применяются не напрямую к значениям функции, как выше, а к коэффициентам интерполяции, рассчитанным из значений функции [1]. Степень полинома 3, регулярность C2 и порядок 4.

O-MOMS

Веса интерполяции:

Interpolation weights for O-MOMS

Однако, они применяются не напрямую к значениям функции, как выше, а к коэффициентам интерполяции, рассчитанным из значений функции [1]. Степень полинома 3, регулярность C0 и порядок 4.

Примеры двумерной интерполяции

Иллюстрация доступных видов интерполяции (исходные пиксели очевидны на интерполяции округлением). Все изображения имеют идентичные диапазоны псевдоцвета.

Источники

[1] P. Thévenaz, T. Blu, M. Unser: Interpolation revisited. IEEE Transactions on medical imaging, Volume 10, Number 7, July 2000, 739