Синтетические поверхности

Помимо функций для анализа измеренных данных Gwyddion предлагает несколько генераторов искусственных поверхностей которые можно использовать для тестирования или моделирования также и вне Gwyddion.

Все генераторы поверхностей имеют некоторый общий набор параметров, определяющих размеры и масштабы созданной поверхности и элементов управления генератором случайных чисел. Эти параметры описаны ниже, параметры, специфичные для каждого генератора описаны в соответствующих подразделах.

Параметры изображения:

Горизонтальный, вертикальный размер

Горизонтальное и вертикальное разрешение создаваемой поверхности в пикселях.

Квадратное изображение

Включение этой опции делает горизонтальное и вертикальное разрешения одинаковыми.

Ширина, высота

Горизонтальные и вертикальные физические размеры создаваемой поверхности в выбранных единицах. Следует отметить, что квадратные пиксели считаются таковыми, изменение одного параметра ведёт к изменению другого.

Единицы измерения пространства и значений

Единицы измерения пространственных размеров (Ширина, Высота) и значений (высот). Выбранные здесь единицы измерения также определяют единицы измерения не безразмерных параметров отдельных генераторов.

Взять размеры текущего изображения

Нажатие этой кнопки приводит к заполнению всех вышеперечисленных параметров в соответствии с текущим изображением.

Следует отметить, что хотя единицы измерения значений обновляются, масштаб значений определяется зависящими от генератора параметрами, которые могут не выводиться напрямую из статистических свойств текущего изображения. Следовательно, эти параметры не пересчитываются.

Заменить текущее изображение

Эта опция имеет двойной эффект. Во первых, она заставляет размеры и масштабы автоматически устанавливаться равными текущему изображению. Во вторых, при этом генерируемая поверхность заменяет текущее изображение вместо создания нового.

Начать с текущего изображения

Эта опция имеет двойной эффект. Во первых, она заставляет размеры и масштабы автоматически устанавливаться равными текущему активному изображению. Во вторых, она заставляет генератор начать с поверхности, содержащейся в текущем изображении и модифицировать её вместо плоской поверхности. Следует отметить, что это не влияет на то, будет ли результат записан в текущее изображение или будет создано новое.

Элементы управления генератором случайных чисел:

Случайное зерно

Начальное число генератора случайных чисел. При выборе тех же параметров и разрешений и того же начального числа генерируется та же самая поверхность, даже на разных компьютерах. Различные начальные числа приводят к генерации разных поверхностей с теми же общими характеристиками, заданными параметрами генератора.

Новый

Заменяет начальное число случайным.

Сделать случайным

Включение этой опции приводит к тому, что начальное число выбирается случайно при каждом запуске генератора. Это позволяет удобно перезапускать генератор просто нажимая Ctrl-F (см. раздел клавиатурные сокращения).

Обновить/просмотреть элементы управления:

Обновлять сразу

Если этот флаг включен, поверхность рассчитывается заново после каждого изменения входных параметров. Эта опция доступна для генераторов которые работают относительно быстро.

Прогрессивное обновление

Если этот флаг включен, изображение предпросмотра показывает развитие морфологии поверхности в процессе симуляции. Эта опция доступна для медленных генераторов, которые задействуют итерационные физические модели. Включение прогрессивного обновления в общем случае слегка замедляет симуляцию, поскольку снимки требуют некоторого времени для своего получения и отображения.

Спектральный

Модуль спектрального синтеза создаёт случайно шероховатые поверхности путём синтеза преобразования Фурье поверхности в соответствии с заданными параметрами и затем применением обратного преобразования Фурье для получения реальной поверхности. Генерируемые поверхности являются периодическими (т.е. идеально гладко сшиваются на границах).

Параметры Фурье-образа определяют форму функции спектральной плотности мощности, т.е. модулей коэффициентов Фурье, фазы задаются случайно. В настоящий момент все создаваемые поверхности изотропны, т.е. функция спектральной плотности мощности радиально симметрична.

Ср. квадр.

Среднеквадратичное значение высот (или отличий от средней плоскости, которая, однако, всегда является плоскостью z = 0). Кнопка как у текущего изображения устанавливает значение среднеквадратичного отклонения равным таковому для текущего изображения.

Минимальная, максимальная частота

Минимальная и максимальная пространственные частоты. Увеличение минимальной частоты ведёт к «уплощению» изображения, т.е. удалению крупных выделяющихся частей. Уменьшение максимальной частоты ограничивает остроту выступающих частей.

Разрешить гауссов множитель

Включает умножение коэффициентов Фурье на гауссову функцию, что в реальном пространстве соответствует свёртке с гауссианой.

Разрешить лоренцев множитель

Включает умножение коэффициентов в разложении Фурье на функцию, пропорциональную 1/(1 + k2T2)3/4, где T — длина автокорреляции. Таким образом, сам множитель фактически не является лоренцевым, но он соответствует лоренцевой одномерной плотности спектра мощности, которая в свою очередь соответствует экспоненциальной функции автокорреляции (подробное обсуждение функций автокорреляции приведено в разделе Статистический анализ). Этот множитель убывает сравнительно медленно, таким образом, ограниченное разрешение играет обычно большую роль, чем в случае с гауссовым.

Длина автокорреляции

Длина автокорреляции гауссова или лоренцева множителя (подробное обсуждение функций автокорреляции приведено в разделе Статистический анализ).

Разрешить степенной множитель

Включает умножение коэффициентов в разложении Фурье на множитель, пропорциональный 1/kp, где k - пространственная частота и p - степень. Это позволяет создавать различные фрактальные поверхности.

Степень

Степень p.

Искусственные поверхности созданные спектральным синтезом: узкий диапазон пространственных частот (слева), гауссова случайная поверхность (по центру) и фрактальная поверхность, созданная со степенным множителем и p равными 1,5 (справа).

Объекты

Метод размещения объектов позволяет создавать случайные поверхности, состоящие из выступающих частей определённой формы. Алгоритм прост: заданное число объектов помещается в случайные места поверхности. Для каждого из размещаемых объектов, новые высоты меняются на max(z, z0 + h), где z – текущая высота отдельной точки, h – высота объекта в этой точке (подразумевая нулевой базис) и z0 – текущая минимальная высота над базисом помещаемого объекта. Алгоритм рассматривает горизонтальную плоскость как заполненную идентичными копиями поверхности, следовательно, и сама поверхность будет периодически повторяющейся (т.е. будет идеально совмещаться сама с собой на границах при использовании в качестве текстуры).

Параметры и настройки на вкладке Форма управляют формой отдельных особенностей:

Форма

Форма (вид) помещаемых объектов. В настоящее время можно использовать полусферы, коробки, пирамиды, тетраэдры и некоторые более странные формы.

ПолусфераПараллелепипедКонус
ПирамидаБриллиантТетраэдр
Половина сварной точкиКамышПалатка
ГауссианаБубликПараболический выступ
Полная сфераСварная точкаГексагональная пирамида
Размер

Пространственный размер объекта, обычно сторона описанного квадрата.

Пропорции

Соотношение между размерами по x и y объекта по отношению к некоторым пропорциям по умолчанию.

Изменение соотношения сторон не всегда подразумевает простое геометрическое масштабирование, например, объекты, называемые частицами меняют форму от полусфер до стержней при изменении соотношения сторон.

Высота

Величина, пропорциональная высоте объекта, обычно высота самой высокой точки.

Выбор опции Масштабируется с размером заставляет невозмущённые высоты масштабироваться пропорционально размеру объекта. В противном случае высота не зависит от размера.

Кнопка как у текущего изображения устанавливает значение высоты равным значению, основанном на среднеквадратичном отклонении текущего изображения.

Усечение

Фигуры могут быть усечены на определённой высоте для создания усечённых конусов, пирамид, и т.п. Высота усечения задаётся в долях от общей высоты объекта. Единица означает неусечённую фигуру, ноль – полное удаление объекта.

Каждый параметр может быть задан случайно для отдельных объектов, это задаётся опцией Разброс. Для мультипликативных величин (все, кроме ориентации и усечения), распределение логарифмически нормальное со значением среднеквадратичного отклонения логарифма величины заданным параметром Разброс.

Параметры и настройки на вкладке Размещение управляют где и как поверхность будет меняться с помощью сгенерированных фигур:

Покрытие

Среднее количество раз, которое объект перекрывает пиксель изображения. Значение покрытия 1 означает что поверхность будет ровно один раз покрыта объектами, при этом они будут покрывать её равномерно. Большие значения означают больше слоёв объектов и более медленную генерацию изображения.

Направление особенности

Направление изменения поверхности при добавлении объектов. Положительные и отрицательные изменения соответствуют образованию высот и впадин при добавлении объектов соответственно. Нулевое значение параметра означает что выступы и впадины выбираются случайно. Положительное значение делает выступы более вероятными, максимальное значение, равное 1 соответствует формированию только выступов. То же самое справедливо для отрицательных значений и впадин.

Рост плёнки колоннами

Для столбчатости равной нулю локальная модификация поверхности работает как описано во введении. Для столбчатости равной одному (максимальной) объекты считаются имеющими также нижнюю часть, которая является идеальным зеркальным отражением (видимой) верхней части. Как только нижняя часть касается любой точки поверхности, она прилипает к ней. Это задаёт итоговую высоту. Диапазон высот растёт быстро в данном случае и объём будет достаточно пористым (что не представлено полем высот, разумеется). Значения между 0 и 1 означают что высота объекта интерполируется между двумя экстремумами.

Избегать наложения

Если эта опция включена, на любой пиксель поверхности может быть помещено не более одного объекта. Следовательно, они никогда не будут пересекаться. Опция Покрытие в данном случае не задаёт сколько объектов будет реально помещено на поверхность, а только количество попыток генератора разместить объект. Как только не остаётся свободного места, куда можно поместить объект заданного размера, увеличение покрытия не будет влиять на результат (только замедлять генерацию).

Ориентация

Поворот решетки по отношению к определённому исходному направлению, измеренный против часовой стрелки. Ориентация также может быть сделана случайной используя соответствующую настройку Разброса.

Искусственные поверхности, созданные размещением объектов: сфер различного размера (слева), узких камышовых листьев различного направления (по центру), отрицательных непересекающихся гексагональных пирамид разного размера (справа).

Чвстицы

Осаждение частиц проводит динамическое моделирование падения взаимодействующих сферических частиц на твёрдую поверхность. Частицы не падают все одновременно. Вместо этого, они падают последовательно между частицами уже лежащими на поверхности и им даётся время для релаксации.

Радиус частицы

Радиус сферических частиц в физических единицах. Высота и пространственные размеры должны быть одной и той же физической величиной, следовательно, тут будет только один параметр размерности.

Ширина распределения

Стандартное отклонение распределения радиуса (гауссова).

Покрытие

Какая часть поверхности должна быть покрыта, если она равномерно покрывается осаждаемыми частицами. если модель не может разместить требуемого числа частиц, обычно вследствие слишком малого времени симуляции, выводится сообщение об ошибке.

Шагов релаксации

Длина моделирования, измеренная в количестве шагов.

Метод осаждения стержней основан на том же динамическом моделировании, но для продолговатых частиц. Частицы в действительности формируются триплетами сфер, тем не менее, это позволяет получить достаточно вменяемый диапазон соотношений размеров частиц. Модель также имеет несколько дополнительных параметров взаимодействия.

Нагромождение

Генератор искусственных поверхностей Объекты достаточно быстр, но это достигается избеганием любых видов трёхмерной геометрии и придания формы поверхности используя несколько простых правил. Модули осаждения частиц и стержней лежат около другого конца спектра скорость-реализм и действительно выполняют динамическое моделирование падения на поверхность взаимодействующих частиц. Этот модуль лежит посередине, поскольку он формирует поверхность из реальных трёхмерных твёрдых объектов, но по прежнему использует только простые правила для того, что происходит с ними когда они касаются поверхности, сохраняя хорошую скорость генерации поверхности.

Объекты начинают падать из горизонтального положения. Когда они касаются поверхности, находится положение локальной средней плоскости вокруг области контакта. Фигура после этого поворачивается так, чтобы лежать прямо на этой локальной плоскости, её финальная высота определяется как подробнее описано в описании Столбчатости ниже и затем она просто прилипает в этом положении. Дальнейшее соскальзывание, кувыркание, обрушение и прочие динамические усадочные процессы не моделируются.

Некоторые параметры генератора имеют точно такое же значение, что и для синтеза Объектов. Это включает в себя Покрытие, Избегать наложения и Ориентация. Остальные описаны ниже:

Форма

Форма (вид) помещаемых объектов. В настоящее время возможные варианты включают в себя различные удлинённые формы.

ЭллипсоидБрусЦилиндр
ЧастицаГексагональный стержень 
Ширина

Формы могут быть вытянуты вдоль оси x (что контролируется опцией Соотношение сторон). Их размер в перпендикулярном направлении задаётся шириной. Поперечное сечение будет симметричным. Следовательно, ширина задаёт сразу и горизонтальную ширину, и высоту.

Соотношение сторон

Отношение между размерами вдоль направлений x и y. Другими словами, вытянутость. Оно всегда не меньше единицы, формы никогда не сжимаются вдоль оси x. Следовательно, распределение соотношения размеров может быть сильно асимметричным, если номинальное значение близко к единице и разброс велик.

Рост плёнки колоннами

В общем случае, этот параметр влияет на то, насколько фигуры склонны образовывать колоннообразные структуры (пористые, если данные могут это представить). Значение по умолчанию, равное нулю, можно представить как если бы нижняя часть фигуры плавилась при взаимодействии и заполняла впадину, куда она упала. Следует отметить, что объёмное равновесие является в какой-то мере приблизительным и высота, на которой застревает объект может быть такой, что острые выступы на поверхности пробивают его насквозь.

Максимальная столбчатость (1) означает, что как только любая часть формы касается поверхности, она прилипает к ней. Для меньших положительных значений финальная высота интерполируется парой высот, заданной двумя подходами.

Если столбчатость отрицательна, форма вбита в поверхность. Для минимального значения (-1) оно опускается на наименьшую высоту, для которой по крайней мере одна точка всей её нижней границы не будет ниже оригинальной поверхности. Снова, для других отрицательных значений финальная высота будет интерполирована.

Искусственные поверхности, создаваемые нагромождением геометрических форм: направленных гексагональных брусьев на центральном гребне (слева), беспорядочная куча элипсоидальных игл (по центру), куча кубов наваленных на центральную колонну (справа).

Шум

Случайный некоррелированный точечный шум генерируется независимо в каждой точке. Доступно несколько распределений.

Распределение

Распределение значения шума. Варианты включают в себя гауссово, экспоненциальное, равномерное и треугольное распределения.

Направление

Шум можно генерировать как симметричный, так и односторонний. Среднее значение распределения симметричного шума равно нулю, т.е. среднее значение данных не меняется при добавлении симметричного шума. Односторонний шум только увеличивает (положительный) или уменьшает (отрицательный) значения данных.

Ср. квадр.

Среднеквадратичное значение распределения шума. Точнее, среднеквадратичное соответствующего симметричного распределения в случае одностороннего шума.

Различные виды искусственного шума, добавленные к одной и той же поверхности: симметричный гауссов шум (слева), положительный экспоненциальный шум (по центру), отрицательный экспоненциальный шум (справа). Все изображения показаны с одинаковой шкалой псевдоцвета и все виды шума имеют одинаковое среднеквадратичное отклонение.

Линейный шум

линейный шум представляет собой шум с длительностью больше пренебрежимо малой, который приводит к типичным ступеням или царапинам (они же называются штрихами) в направлении быстрой оси сканирования. Параметры Распределение, Направление и Среднеквадратичное отклонение имеют те же значения, что и для точечного шума. Другие параметры управляют пространственными характеристиками шума.

Доступны два основных типа линейных дефектов: ступеньки и царапины. Ступеньки представляют собой резкие изменения значения, которые продолжаются до конца скана (или пока не встретится новая ступенька). Царапины — изменения значений с конечной длительностью, т.е. значения возвращаются к исходным спустя какое-то время. Гребни представляют собой то же самое, но в большем масштабе: они могут тянуться несколько линий скана.

Ступеньки имеют следующие параметры:

Плотность

Среднее число дефектов на линию скана, включая любое время простоя (которое определяется параметром Рабочий ход).

В пределах линии

Доля времени сканирования линии, которая тратится непосредственно на снятие данных. Остальное время относится к холостому ходу. Значение 1 соответствует случаю нулевого времени холостого хода, т.е. все ступени появляются в пределах изображения. Значение 0 означает, что время снятия данных пренебрежимо мало к общему времени сканирования линии, следовательно, ступени могут встречаться только между линиями.

Кумулятивные

Для кумулятивных ступеней случайное значение всегда добавляется к текущему значению данных; для одиночных ступеней новое смещение данных напрямую равно случайному значению смещения.

Для царапин доступны следующие параметры:

Покрытие

Доля изображения покрытая дефектами, если они не пересекаются. Поскольку дефекты могут пересекаться значение покрытия 1.0 не означает. что изображение полностью закрыто объектами.

Длина

Длина царапины в пикселях.

Разброс

Разброс длины царапины, описание в разделе объекты.

Гребни имеют следующие параметры:

Плотность

Среднее число дефектов на линию скана, включая любое время простоя (которое определяется параметром Рабочий ход).

В пределах линии

Доля времени сканирования линии, которая тратится непосредственно на снятие данных. Остальное время относится к холостому ходу. Значение 1 соответствует случаю нулевого времени холостого хода, т.е. все ступени появляются в пределах изображения. Значение 0 означает, что время снятия данных пренебрежимо мало к общему времени сканирования линии, следовательно, ступени могут встречаться только между линиями.

Ширина

Средняя длина дефекта, измеренная в единицах размера изображения. Значение 1 означает что средней длиной будет всё время сканирования изображения. Малые значения означают что дефекты в основном будут занимать только одну линию сканирования.

Различные виды линейного шума добавлены к искусственной пирамидальной поверхности: исходная поверхность (слева); с достаточно редкими одиночными ступенями (по центру); с царапинами средней длиной в 16 px и высокой плотностью покрытия (справа).

Структура

Правильные геометрические структуры представляют собой виды поверхности, которые нередко встречаются в микроскопии как стандарты или тестовые шаблоны, такие, как борозды, ступени или отверстия. Каждый вид структуры имеет свой набор геометрических параметров, определяющих формы и размеры различных частей структуры. У каждого параметра можно управлять разбросом значений, также, как и в синтезе объектов, это позволяет создавать не совсем идеальную в некоторых аспектах структуру.

Расположение структуры на горизонтальной поверхности управляется параметрами на вкладке Положение, общей для всех видов шаблонов.

Ориентация

Поворот текстуры по отношению к определённому исходному направлению, измеренный против часовой стрелки.

Эта вкладка также содержит параметры деформации. Включение разброса параметров делает поверхность в какой-то степени неправильной, однако, форма характерных особенностей поддерживается неизменной. Это дополняется другим методом изменения, называемым Деформация который разрешает искажение шаблона в плоскости xy. У деформации есть два параметра:

Амплитуда

Величина пространственной деформации. Относительная численная величина в основном определяющая как далеко может зайти деформация.

Пространственный масштаб

Характерный размер деформаций. Он описывает не как далеко смещаются характерные части изображения, а как резко или медленно сама деформация меняется вдоль горизонтальной плоскости.

Искусственные структуры поверхностей: острые ступени под углом 30 градусов, искаженные деформацией с большой длиной автокорреляции (слева); неравномерно разбросанные борозды с умеренными уклонами между верхней и нижней плоскостями, искаженные деформацией с малой длиной автокорреляции (по центру); неискаженный шаблон скруглённых отверстий с большим разбросом размеров и глубины.

Столбчатые плёнки

Модель вертикального роста плёнок (колоннами) использует простой механизм осаждения на основе алгоритма Монте-Карло, в котором малые частицы падают на поверхность с направлений, заданных нижеуказанными параметрами, прилипают к поверхности вблизи точки падения и увеличивают там локальную высоту. Эффект затенения при этом заставляет больше частиц прилипать к более высоким точкам поверхности, и меньше к более низким. Положительная обратная связь по высоте приводит к образованию колонн. Алгоритм рассматривает горизонтальную плоскость, заполненную идентичными копиями текущей поверхности, следовательно, генерируемые поверхности также будут периодическими (т.е. идеально сшиваться на границах). У генератора поверхности есть следующие параметры:

Покрытие

Среднее число частиц, генерируемых над каждым пикселем поверхности.

Высота

Увеличение локальной высоты при прилипании частицы к поверхности. Поскольку горизонтальный размер частицы всегда один пиксель, высота измеряется в пикселях. Высота в один пиксель подразумевает кубические частицы, пока рассмотрение касается процесса роста. С точки зрения детекции столкновений частицы считаются бесконечно малыми.

Наклон

Центральный угол наклона, с которым генерируются частицы (угол падения). Нулевое значение обозначает, что малые углы падения имеют наивысшую вероятность. Большие значения означают, что частицы более вероятно упадут с большего угла, чем с меньшего. Но для большого разброса направлений, распределение остаётся изотропным в горизонтальной плоскости.

Направление

Центральное направление в горизонтальной плоскости, с которым генерируются частицы. Большой разброс означает изотропное распределение в горизонтальной плоскости; для малых дисперсий рост анизотропен.

Релаксация

Метод определения пикселя, к которому в конечном итоге прилипнет частица. На данный момент доступны два варианта. При слабой релаксации рассматриваются только два пикселя: непосредственно перед столкновением и после него, частица прилипает к более низкому из них. В случае сильной релаксации дополнительно рассматривается локальная область 3×3 пикселя. Частица может переместиться к более низкому соседнему пикселю с определённой вероятностью перед тем, как прилипнет насовсем к поверхности.

Искусственные колоннообразные поверхности: свободная упаковка колонн (слева), плотная упаковка колонн (по центру), направленный рост при сильной релаксации (справа).

Баллистическое осаждение

Вертикальное баллистическое осаждение это одна из простейших фундаментальных моделей роста плёнок. Частицы падают вертикально в произвольно выбранное место (пиксель). Высота этого места увеличивается на высоту частицы. Однако, если новая высота окажется меньше высоты любого из четырёх соседних мест, частица считается прилипшей к соседней колонне. Таким образом, высота точки падения становится равной максимальной из окружающих высот. Это является единственным механизмом, вводящим корреляции в горизонтальной плоскости в результирующую шероховатость.

Расчёт имеет всего несколько параметров:

Покрытие

Среднее число частиц, генерируемых над каждым пикселем поверхности.

Высота

Увеличение локальной высоты, которое происходит при падении частицы на пиксель.

Искусственные поверхности, созданные баллистическим осаждением: начальная фаза с достаточно малой длиной корреляции (слева); после того, как корреляции достигли размера изображения (по центру); осаждение, начатое с высоты поверхности микросхемы (справа).

Волны

Метод волнового синтеза генерирует изображение на основе интерференции волн от набора точечных источников. Помимо обычной косинусоидальной волны, доступны несколько других форм волны, каждая из которых имеет чётный и нечётный вариант, различающиеся на сдвиг фазы π/2 во всех частотных компонентах. Когда волна рассматривается как комплексная, чётная часть (косинусоида) образует действительную часть, а нечётная (синусоида) образует мнимую.

Чётные и нечётные формы волны для различных доступных видов волн. Для изображений смещения используются только косинусоидальные формы; полная комплексная волна используется для генерации изображений интенсивности и фазы.

Для генератора доступны нижеследующие опции:

Величина

Величина для показа на изображении. Смещение это сумма действительных частей. Амплитуда это модуль комплексной волны. Фаза это фазовый угол комплексной волны.

Число волн

Число точечных источников, от которых распространяются волны.

Форма волны

Одна из описанных выше форм волны.

Амплитуда

Приблизительная амплитуда высот (среднеквадратичное отклонение) генерируемого изображения. Следует отметить, что она отличается от от амплитуды отдельных волн: амплитуда высот в сгенерированном изображении должна расти пропорционально квадратному корню из числа волн в этом случае, в то время как она фактически остаётся почти постоянной пока не меняется амплитуда.

Частота

Пространственная частота волн. Измеряется относительно размера изображение, т.е. значение 1.0 означает длину волны, равную размеру стороны изображения.

X центра, Y центра

Координаты точечных источников. Нуль соответствует центру изображения. Координаты измеряются в размерах изображения. В общем случае, хотя бы один из соответствующих разбросов должен быть ненулевым, иначе все точечные источники будут совпадать (хотя можно сгенерировать некоторые интересные текстуры варьируя частоты).

Затухание

Затухание определяет как быстро волны ослабляются. Значение измеряется в обратных длинах волн и задаётся как десятичный логарифм, что показывается единицами измерения log₁₀.

Искуственные волнистые поверхности: карта смещений сгенерированная с достаточно большим разбросом частот (слева); изображение амплитуды для волны в форме обратного cosh (по центру); изображение фазы для малого кластера далёких источников (справа).

Домены

Расчёт реализует гибридную неравновесную модель Изинга [1], совмещающую дискретную модель Изинга для малых расстояний с непрерывным медленным ингибитором.

Дискретная переменная u имеет два возможных значения, которые она меняет с вероятностью

где ΔE – изменение энергии в результате смены состояния и T – температура. Энергия задаётся числом соседей в противоположном состоянии в направлениях вдоль координатных осей no, числом соседей в противоположном состоянии в направлении по диагоналям nd и также смещением, вызванным полем ингибитора v:

Непрерывное поле ингибитора v задано локальным дифференциальным уравнением, связанным с переменной u:

где μ – связь ингибитора и ν – параметр смещения. Граничные условия для расчёта периодические, следовательно, генерируемые изображения также будут периодическими (т.е. идеально совмещаться друг с другом на границе).

Расчёт управляется следующими параметрами:

Число шагов

Одна итерация расчёта состоит из четырёх шагов: обновление u методом Монте-Карло, шаг по времени в решении дифференциального уравнения для v, другой шаг Монте-Карло и ещё один шаг по времени в дифференциальном уравнении. Показываемые значения v соответствуют второму обновлению. Значение, показываемое как u это среднее из двух значений, наиболее близких по времени к соответствующему значению v. Таким образом, изображения u трёхзначные, а не двузначные.

Температура T

Температура определяет вероятность, с которой переменная с двумя состояниями u может переходить из одного в другое с энергией большей или равной (смена состояния, которая сильно понижает энергию, происходит сама по себе). Большая температура означает меньшее разделение между двумя доменами u.

Сила ингибитора B

Сила, с которой непрерывная переменная смещает энергию в каждом пикселе. Для больших значений ингибитор играет большую роль по сравнению с поверхностным натяжением.

Связь ингибитора μ

Фактор связи между u и v в дифференциальном уравнении для v.

Смещение ν

Смещение в дифференциальном уравнении для v в сторону больших или меньших значений.

Временной шаг метода Монте-Карло

Временной шаг в дифференциальном уравнении, соответствующий одному шагу в методе Монте-Карло. Таким образом, этот параметр определяет относительную скорость двух этих процессов.

Высота

Диапазон значений создаваемых изображений.

Искусственные доменные поверхности: спиральные волны с дальним порядком (слева); упорядоченные спиральные волны с близким порядком при большей температуре (по центру); непрерывное изменение при ситуации низкой температуры с малой силой и связью (справа).

Диффузия

Модуль моделирования реализует дискретную модель диффузии с ограниченной агрегацией на основе метода Монте-Карло. Частицы в форме пикселей падают на поверхность и движутся вдоль неё пока не прилипают к кластеру, постепенно образуя монослой. Поток падающих частиц невелик, поэтому в каждый момент времени свободно двигается малое число частиц и частица может пройти заметное расстояние по поверхности до момента прилипания. Для типичных значений параметров это приводит к образованию кластеров в форме «фрактальной снежинки»

Расчёт управляется следующими параметрами:

Покрытие

Среднее количество раз, когда частица попадает на заданный пиксель изображения. Значение покрытия 1 означает что поверхность будет покрыта монослоем, предполагая, что частицы покрывают её равномерно.

Поток

Среднее число частиц, падающих на каждый заданный пиксель за один шаг моделирования. Меньшие значения потока приводят к более крупным структурам, поскольку частицы участвуют в диффузии более продолжительное время до встречи с другой частицей. Значение задано как десятичный логарифм, что показывается единицами измерения log₁₀.

Высота

Высота отдельной частицы которая задаёт высоту ступеней в получаемом изображении.

Вероятность прилипания

Вероятность того, что свободная частица окончательно прилипнет и перестанет двигаться, когда она касается другой отдельной частицы. Вероятности что частица прилипнет, если она коснётся двух или трёх частиц возрастает пропорционально в зависимости от этого значения. Вероятность прилипания всегда нулевая для частицы без соседей и всегда единица для частицы, окруженной четырьмя соседними.

Вероятность активации

Вероятность для частицы, которая не прилипла что она сдвинется если она касается другой частицы. Вероятность для большего числа касающихся частиц уменьшается как степень вероятности для отдельной частицы. Частицы без соседей могут двигаться свободно всегда.

Вероятность прохождения Швёбеля

Частица, которая упала на верхушку уже сформированного кластера может иметь сниженную вероятность спуститься на более низкий уровень из-за так называемого барьера Швёбеля. Если этот параметр равен 1, барьера нет, т.е. частицы могут свободно спускаться. Наоборот, вероятность, равная 0, означает что частицы никогда не спустятся на более низкие уровни. Значение задано как десятичный логарифм, что показывается единицами измерения log₁₀.

Следует отметить, что некоторые комбинации параметров, а именно очень маленький поток и очень низкая вероятность преодолеть барьер Швёбеля, могут привести к очень долгим временам моделирования.

Искусственные дифузионные поверхности: редкие кластеры с высокой вероятностью прилипания (слева); частые кластеры с низкой вероятностью прилипания (по центру); многослойные фрактальные структуры с высоким барьером Швёбеля (справа).

Волокна

Метод синтеза поверхности, основанный на случайном размещении волокон сильно похож на метод синтеза Объекты, за исключением того, что вместо объектов ограниченного размера он добавляет бесконечно длинные (в принципе) волокна на поверхность.

Генератор имеет небольшой набор параметров, поделенных между вкладками Генератор и Размещение. Первая группа содержит основные настройки и параметры, определяющие профили отдельных волокон.

Форма

Форма профиля поперёк волокна. Опции Полукруг, Треугольник, Прямоугольник и Парабола не требуют пояснений. Форма Квадратичный сплайн соответствует кусочной квадратичной функции, состоящей из трёх частей, которая является базисной функцией квадратичного B-сплайна.

Покрытие

Среднее количество волокон перекрывающих один пиксель изображения. Значение покрытия 1 означает что поверхность будет ровно один раз покрыта волокнами, при этом они будут покрывать её равномерно и не будут пересекаться. Большие значения означают больше слоёв объектов и более медленную генерацию изображения. Значение является приблизительным и действительное покрытие немного зависит от других параметров.

Ширина

Ширина волокна в пикселях. Также имеет обычную связанную опцию Разброс, которая определяет различия между отдельными волокнами. Однако, для волокон ширина также может меняться вдоль каждого отдельного волокна. Это настраивается опцией Вдоль волокна. Высокие значения разброса вдоль волокна могут в сочетаниях с некоторыми другими опциями (в частности, высокими значениями деформации по длине и высокими значениями разброса толщины) приводить к странно выглядящим изображениям и возможным артефактам.

Высота

Величина, пропорциональная высоте волокна, обычно высота наивысшей точки. Также как и Ширина, она имеет два разброса, между отдельными волокнами и вдоль каждого индивидуального волокна.

Выбор опции Масштабируется с шириной заставляет невозмущённые высоты масштабироваться пропорционально ширине волокна. В противном случае высота не зависит от размера.

Кнопка как у текущего изображения устанавливает значение высоты равным значению, основанном на среднеквадратичном отклонении текущего изображения.

Усечение

Волокна могут быть усечены на определённой высоте для создания профилей в форме усечённых полукругов, парабол, и т.п. Высота усечения задаётся в долях от общей высоты объекта. Единица означает неусечённую фигуру, ноль – полное удаление волокна.

Вторая группа содержит опции, управляющие тем, как волокна деформируются и добавляются к изображению:

Ориентация

Поворот волокон, измеренный против часовой стрелки. Ноль соответствует ориентации слева направо.

Плотность

Плотность управляет тем, как часто волокно деформируется по его длине. Низкая плотность соответствует постепенной деформации на больших масштабах, в то время, как высокая плотность означает что волокно деформируется часто, что приводит к волнистым и извилистым формам.

Горизонтальный масштаб

Как сильно волокно деформировано в направлении, перпендикулярном его основному направлению. Увеличение этого значения делает волокно извилистым, правда в относительно правильной форме.

По длине

Как сильно точки волокна смещаются вдоль его длины. Увеличение этого параметра вызывает появление неправильных перекручиваний и петель (или даже узлов).

Искусственные волокнистые поверхности: умеренно искривленные волокна, все ориентированные в более или менее одном направлении (слева); много слоёв тонких прямых случайно ориентированных волокон (по центру); параллельные волокна с высокой плотностью горизонтальных деформаций (справа).

Решетка

Модуль синтеза решеток создаёт поверхности основанные на случайных двумерных решетках. Он содержит две основные части. В первой, управляемой параметрами во вкладке Решетка, создаётся набор точек в плоскости, которые организованы в более или менее случайную решетку. Вторая часть, управляемая параметрами во вкладке Поверхность, создаёт реальную поверхность, основанную на величинах, рассчитанных в ходе тесселяции Вороного и /или триангуляции Делоне для заданного набора точек.

Создание решетки управляется следующими параметрами:

Решетка

Основной тип решетки. Случайная решетка соответствует полность случайно помещённым точкам. Другие типы (квадратная, гексагональная, треугольная) соответствуют правильному расположению точек.

Размер

Средний размер ячейки. Точнее, этот параметр описывает среднюю плотность точек. Он равен стороне квадрата, если такое же число точек организовано в квадратную решетку.

Релаксация решетки

Величина, на которую решетке можно релаксировать. Процесс релаксации отталкивает точки от очень близких соседей в сторону большой пустой области. В целом это приводит к тому, что размеры ячеек становятся более равномерными. Естественно, процесс релаксации не влияет на правильные решетки. Следует отметить, что релаксация требует прогрессивной ретесселяции и большой параметр релаксации может существенно замедлить генерацию поверхности.

Релаксация высоты

Величина, на которую могут релаксировать случайные значения, присвоенные каждой точке (см. ниже). Процесс релаксации похож на диффузию и приводит к общему сглаживанию случайных значений.

Ориентация

Поворот решетки по отношению к определённому исходному направлению, измеренный против часовой стрелки. Доступно только для правильных сеток, поскольку случайная сетка является изотропной.

Амплитуда, Горизонтальный масштаб

Параметры, управляющие деформацией решетки. Имеют то же значение, что и в синтезе структур.

Финальная поверхность строится как взвешенная сумма набора основных величин, полученных в результате тесселяции Вороного или триангуляции Делоне. Каждая величина может быть включена или выключена. Если она выбрана в списке, её вес добавляется к сумме и её пороговые параметры можно модифицировать двигая ползунки. Нижний и верхний порог ограничивают диапазон значений (который всегда нормализован до [0, 1]) меняя все величины выше верхнего порога на величину порога и аналогично для нижнего.

Некоторые из основных величин рассчитываются только из горизонтальных координат. Некоторые, однако, рассчитываются из случайных значений («высот»), присвоенных каждой точке множества. Доступные величины включают в себя:

Случайная постоянная

Округляющая интерполяция между случайными величинами, присвоенными каждой точке множества. Это означает, что каждая ячейка Вороного заполнена постоянной случайной величиной.

Случаная линейная

Линейная интерполяция между случайными величинами, присвоенными каждой точке множества. Следовательно, поверхность является непрерывной и каждому треугольнику Делоне соответствует грань поверхности.

Случайная выпуклая

Интерполяция похожа на предыдущую, но является нелинейной, создавая относительно ровные области вокруг каждой точки множества.

Радиальное расстояние

Расстояние до ближайшей точки множества.

Сегментированное расстояние

Расстояние до ближайшей границы ячейки Вороного, масштабированное в каждом сегменте ячейки таким образом, чтобы точка множества была равноудалена от всех границ.

Сегментированное случайное

Та же величина, что и сегментированное расстояние, но умноженная на случайное значение, присвоенное точке множества.

Расстояние до границы

Расстояние до ближайшей границы ячейки Вороного.

Случайное до границы

Та же величина, что и расстояние до границы, но умноженная на случайную величину, присвоенную точке множества.

Расстояние до второго ближайшего

Расстояние до второй ближайшей точки множества.

Искусственные решетчатые поверхности: граненная поверхность, создаваемая случайной линейной интерполяцией (слева); бугры на искаженной треугольной текстуре (по центру); искаженная прямоугольная текстура с сегментами, разделёнными бороздами (справа).

Броуновский

Этот модуль генерирует, помимо других вещей, поверхности с профилями, подобными дробному броуновскому движению. Метод создания, однако, не очень сложен. Начиная от углов изображения, внутренние точки рекурсивно линейно интерполируются вдоль горизонтальной и вертикальной осей, добавляя шум, который масштабируется с расстоянием согласно заданной экспоненте Хёрста. Некоторые из поверхностей окажутся такими же, как генерирует спектральный синтез, однако, создание их в линейном пространстве, а не в пространстве частот, позволяет менять их различные свойства.

Генератор настраивается нижеследующими параметрами:

Экспонента Хёрста

Экспонента Хёрста H. Для нормальных значений между 0 и 1, квадратный корень из функции корреляции высота-высота растёт как H-тая степень расстояния. Алгоритм создания позволяет использовать даже отрицательные значения, поскольку он останавливается при конечном разрешении в один пиксель.

Масштаб стационарности

Масштаб, на котором принудительно реализуется стационарность (следует заметить, что дробное броуновское движение не является стационарным). Когда этот масштаб сравним с размером изображения или больше, он оказывает немного влияния. Однако, когда он мал, изображение становится «усреднённым» вместо самоподобия выше этого масштаба.

Распределение

Распределение шума, добавленного при генерации. Равномерный и гауссов приводят в общем случае к одинаковым поверхностям (статистически); первый, однако, является более быстрым. Более тяжелые в хвосте распределения, т.е. экспоненциальное и особенно степенное, приводят к ярко выраженным пикам и впадинам.

Степень

Степень α степенного распределения. Функция плотности вероятности пропорциональна

Ср. квадр.

Среднеквадратичное значение высот (или отличий от средней плоскости, которая, однако, всегда является плоскостью z = 0). Следует отметить, что это значение применяется к данному генерируемому изображению, не процессу как таковому, который не имеет конечного среднеквадратичного отклонения. Кнопка Как у текущего изображения устанавливает значение среднеквадратичного отклонения равным ему же для текущего изображения.

Искусственные броуновские поверхности: классическая поверхность, созданная с H порядка 0,7 (слева); похожее на туманность изображение, сгенерированное с помощью степенного распределения с большой интенсивностью в хвосте (по центру); влияние малого масштаба стационарности (справа).

Фазы

Модуль создаёт данные несколько напоминающие структуру магнитных доменов, изучаемых магнитно-силовой микроскопией (МСМ) или структуру полимеров в органических солнечных батареях, изучаемую каким-либо видом контрастирования состава (ИК, КР, силовые кривые). В отличие от более физически правильных, но требующих больших вычислительных ресурсов подходов, данный работает на основе спектрального синтеза поверхности с ограниченным набором пространственных частот и последующем применении морфологических операций для получения изображений двух фаз. Выходное изображение в данном методе в основном состоит из двух значений, соответствующих двум фазам, хотя иногда может появляться промежуточное «переходное» значение.

Генератор настраивается нижеследующими параметрами:

Размер

Типичная ширина полосы.

Разброс размеров

Разброс размеров (или. точнее, пространственных частот). Малый разброс означает гладкие правильные элементы структуры. Однако, для очень малых значений разброса на изображении могут появиться предпочтительные направления (и оно станет анизотропным) вследствие исчерпания набора допустимых пространственных частот. Большой разброс означает менее правильные границы раздела фаз и большее количество переходных областей.

Высота

Различие в значениях соответствующих двум различным фазам, определяет общий масштаб изображения по z.

Искусственные изображения двух фаз: малый разброс размеров (слева); больший разброс размеров (справа).

Диски

Модуль создаёт данные, состоящие из непересекающихся дисков, возможно постобработанных таким образом, чтобы образовать поверхность, покрытую черепицей (мозаичной текстурой). Подобного результата можно также достичь используя синтез Объектов если включена опция Избегать наложения. Однако, в данном случае, только несколько затравочных дисков расположены случайным образом, остальные всегда помещаются в центр самого большого оставшегося пустого пространства. Это приводит к более равномерному распределению размеров. Более того, преобразование в черепицу создаёт структуру, где обычно три объекта встречаются под углами близкими к 120 градусам, подобно пенистым структурам.

Генератор настраивается нижеследующими параметрами:

Начальный радиус

Радиус диска-затравки, случайно размещаемого в начале.

Минимальный радиус

Минимально допустимый радиус всех остальных дисков. Когда не остаётся места для диска хотя бы такого размера, генерация останавливается.

Зазор

Дополнительный отступ от соседних дисков. В то время, как Минимальный радиус задаёт минимальный размер действительно размещаемых дисков, этот параметр увеличивает минимальный размер свободного пространства, куда можно поместить диск.

Преобразовать в черепицу

Если включено, все диски расширяются до того момента, как они начнут касаться своих соседей. Поверхность становится мозаичной, с тонкими зазорами между отдельными фрагментами.

Толщина зазора

Ширина зазора между черепицами после преобразования.

Применить фильтр размыкания

Если включено, черепичное перекрытие затем подвергается обработке фильтра размыкания заданного размера. Этот процесс убирает слишком маленькие детали и делает оставшиеся более округлыми.

Размер

Размер фильтра размыкания.

Высота

Высота дисков или черепицы по отношению к базовому уровню, определяет общий масштаб оси z изображения. Высоты отдельных особенностей будут распределены вокруг этого значения когда параметр Разброс ненулевой.

Изображения искусственных дисков: круглые диски с некоторым распределением высоты (слева); преобразование в черепицу (по центру); эрозия фильтром размыкания (справа).

Задать статистику

Этот модуль преобразует значения в поле данных таким образом, чтобы установить некоторые заданные статистические свойства. Распределение значений может быть преобразовано в гауссово, с сохранением среднего значения и среднеквадратичной шероховатости, или равномерное, с сохранением минимального и максимального значения. Также можно установить такое же распределение, как у другого поля данных, выбранного в качестве шаблона.

Преобразование сохраняет порядок значений, т.е. если некоторая точка была выше другой до преобразования, она также будет выше после него. Опция обработка данных управляет тем, будет ли преобразование применяться к изображению целиком (Всё изображение) или к каждой строке отдельно, с одинаковым распределением (По строкам (одинаково)). Следует отметить, что если в последнем случае выбран шаблон для распределения, то каждая строка преобразованного изображения будет иметь (примерно) такое же распределение значений как шаблон.

В дополнение можно проводить другой тип преобразования, дискретизацию значений на заданное количество уровней. Эта операция выбирается с помощью опции Дискретные уровни. Доступны два различных типа дискретизации, либо уровни высоты равноудалены от минимального и максимального значения (Равномерное), либо они рассчитываются таким образом, чтобы после преобразования каждый уровень состоял из примерно одинакового количества пикселей (Одинаковая площадь).

Ссылки

[1] L. M. Pismen, M. I. Monine, G. V. Tchernikov: Physica D, (2004) 199 p 82